Yukterez hat geschrieben:Nach dem wir Newton und die SRT durchhaben fehlt noch die ART. Wir nehmen also eine Kanone die 10 mal schwerer als das Projektil ist, und platzieren diese im innermost stable Orbit um ein schwarzes Loch. Wie viel Energie benötigt die Treibladung der Kanone mindestens damit das Projektil gerade noch in die Unendlichkeit entkommen kann?
Yukterez hat geschrieben:Damit unsere Scheinrelativisten nicht zu überfordert sind stecke ich schon mal die ersten Puzzleteile zusammen: der ISCO liegt bei d²V
r/dr²=0, also r(6r-r²-9℧²+3a²)+4℧²(℧²-a²)-8a√(r-℧²)³=0, mit a=℧=0→r=6. Die lokale transversale Kreisgeschwindigkeit im Orbit ist dort genau d²r/dτ²=dr/dτ=0→v
⊥=√(g⁰⁰/r)=1/2, und die Fluchtgeschwindigkeit an diesem Ort -p
t=E=1→v
∥=√(1-1/g⁰⁰)=√(2/r)=1/√3. Damit ist der Teil für den man die ART braucht erledigt; für den Rest kommt man auch mit der SRT aus.
Der Tag ist um, daher die Auflösung: um von der Kreisbahngeschwindigkeit vPro=+c/2 auf die Fluchtgeschwindigkeit vEsc=+c/√3 zu kommen muss die Kugel im System des Beobachters im Orbit die Geschwindigkeit vDif=+0.10874113c erhalten. Das entspricht inklusive der Rückstoßenergie einer Pulverladung mit einem Energiegehalt von 0.00656356mc², wobei m die Ruhemasse des Projektils ist:

Links: Die Kanone bzw der Satellit (grün) erhält durch den Abschuss des Projektils (rot) relativ zum Beobachter im Orbit einen Rückstoß von vRec=-0.010938326c, womit seine Geschwindigkeit relativ zu einem lokalen stationären Beobachter von vPro=+0.5c auf +0.49175114c absinkt, weshalb er nach etwas mehr als einer Umrundung ins schwarze Loch fällt. Da das rote Projektil eKin+ePot=0 hat ist seine lokale Geschwindigkeit gleich seiner Fluchtgeschwindigkeit.
Rechts: Damit der Satellit nicht abstürzt muss er einen zweiten Schuss in die entgegengesetzte Richtung abgeben. Das zweite Projektil (orange) stürzt dann ab, aber dafür kann dann auch der grüne Satellit auf seiner Kreisbahn bleiben. Das kostet im Optimalfall nur 1.817694 mal so viel Energie (weniger als doppelt so viel, da sich die beiden Rückstöße wenn gleichzeitig in beide Richtungen geschossen wird neutralisieren):
