v[я_,r_,ν_]:=ṙ[я,r,ν](Sqrt[(r/(((ṙ[я,r,ν])^2)r+r-2))]);  (* Geschwindigkeit *)

ṙ[я_,r_,ν_]:=-(Sqrt[((2(я-r))/(я r))-ŕ[я,ν] Abs[ŕ[я,ν]]]); (* Koordinatenschnelligkeit *)

ŕ[я_,ν_]:=ν(Sqrt[((1-2/я)/(1-(ν^2)))]); (* Anfangsschnelligkeit *)

ṫ[я_,r_,ν_]:=1/(Sqrt[(1-2/r)(1-((v[я,r,ν])^2))]); (* Zeitdilatation *)

ť[я_]:=1/(Sqrt[(1-2/я)]); (* Lapse *)

u[γ1_,γ2_]:=((γ1 (Sqrt[-1+((γ1)^2)])-γ2 (Sqrt[-1+((γ2)^2)]))/(-1+((γ1)^2)+((γ2)^2))); (* Geschwindigkeitsaddition nach Gamma *)

τ[я_,r_,ν_]:=(∫_r^(я))(1/(Sqrt[-ŕ[я,ν] Abs[ŕ[я,ν]]-((2/(я))-(2/ř))]))\[DifferentialD]ř ;(* Eigenzeit *)

t[я_,r_,ν_]:=(∫_r^(я))(1/(Sqrt[(1-2/ř)(1-((v[я,ř,ν])^2))(-ŕ[я,ν] Abs[ŕ[я,ν]]-((2/(я))-(2/ř)))]))\[DifferentialD]ř ;

r0=3; r1=1/2;(* Start- und Endposition *)
v0=-0.9; (* Anfangsgeschwindigkeit des FREFO relativ zum FIDO *)
vF=(Sqrt[2/r0]); (* Flussgeschwindigkeit des FIDO relativ zum Raindrop *)

v[r0,r0,v0] 1. (* Geschwindigkeit FREFO vs FIDO bei r=3 *)

v[r0,r1,v0] 1. (* Geschwindigkeit FREFO vs FIDO bei r=1/2 *)

v[r0,r0,-vF] 1. (* Geschwindigkeit Raindrop vs FIDO bei r=3 *)

v[r0,r1,-vF] 1. (* Geschwindigkeit Raindrop vs FIDO bei r=1/2 *)

-u[ṫ[r0,r0,v0]/ť[r0],ṫ[r0,r0,-vF]/ť[r0]]1.(* Geschwindigkeit FREFO vs Raindrop bei r=3*)

-u[ṫ[r0,r1,v0]/ť[r1],ṫ[r0,r1,-vF]/ť[r1]]1.(* Geschwindigkeit FREFO vs Raindrop bei r=1/2 *)

ṙ[r0,r0,v0]1. (* Koordinatenschnelligkeit des FREFO bei r=3 *)

ṙ[r0,r1,v0]1. (* Koordinatenschnelligkeit des FREFO bei r=1/2 *)

ṙ[r0,r0,-vF]1. (* Koordinatenschnelligkeit des FIDO bei r=3 *)

ṙ[r0,r1,-vF]1. (* Koordinatenschnelligkeit des FIDO bei r=1/2 *)

plotA[f_,a_,b_,n_]:=Quiet[Plot[{n f[r0,r,v0],n f[r0,r,-vF],n f[r0,r,0]},{r,a,b},Frame->True,GridLines->{{2,1/2},{1,2}},PlotStyle->{Red,Darker[Green],Blue},PlotRange->{All,{0,10}},ImagePadding->20,ImageSize->320]];
 
plotB[f_,a_,b_,n_,c_]:=Quiet[Plot[{n u[ṫ[r0,r,a]/ť[r],ṫ[r0,r,b]/ť[r]]},{r,0,3},Frame->True,GridLines->{{2},{Limit[n u[ṫ[r0,Ř,a]/ť[Ř],ṫ[r0,Ř,b]/ť[Ř]],Ř->2]}},PlotStyle->{c},PlotRange->{{0,3},{0,Sqrt[2/r0]}},ImagePadding->20,ImageSize->320]];

Grid[{
{plotA[v,0,3,-1],plotA[ṙ,0,3,-1]},
{"v lokal","dr/dτ"},
{plotA[τ,0,3,+1],plotA[t,2,3,+1]},
{"Eigenzeit","Koordinatenzeit"},
{plotB[τ,v0,-vF,+1,Magenta],plotB[t,0,-vF,-1,Darker[Cyan]]},
{"v relativ","v relativ"}
}]

({{, }, {v lokal, dr/dτ}, {, }, {Eigenzeit, Koordinatenzeit}, {, }, {v relativ, v relativ}})